四条边相等的四边形一定是正方形。这句话对吗？

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四条边相等的四边形一定是正方形。这个命题是错误的。

在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形是中心对称图形。

四条边相等的四边形有正方形和菱形，笼统的说四条边相等的四边形一定是正方形，没有包含菱形这一种可能性，所有这个命题是错误的。

扩展资料：

菱形的判定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、四条边均相等的四边形是菱形；

4、对角线互相垂直平分的四边形。

四边形的种类：

1、凸四边形

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。

平行四边形(包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形)。

梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。

2、凹四边形

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

百度百科-菱形

初二数学几何知识点归纳

以AB为一边，以A和B各为顶点作:

∠BAE=∠CAD，

∠ABE=∠ACD，

△ABE∽△ACD

因为相似所以四边形四个顶点共圆

相见图

奥数题一道：各边长均为整数，周长为32的不同形状的圆内接凸四边形有多少种？

重点：四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用。

难点：四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思学生不好理解，所以是难点。

1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和定理；

2．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力；

3．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归转化的数学思想；

4．讲解四边形的有关概念时，联系三角形的有关概念向学生渗透类比思想.

教学重点：

四边形的内角和定理.

教学难点：

四边形的概念

教学过程：

（一）复习

在小学里，我们学过长方形、正方形、平行四边形和梯形的有关知识.请同学们回忆一下这些图形的概念.找学生说出四种几何图形的概念，教师作评价.

（二）提出问题，引入新课

利用这些图形的定义，你能在下图中找出长方形、正方形、平行四边形和梯形吗？教师说完就打开多媒体课件.（先看画面一）

问题：你能类比三角形的概念，说出四边形的概念吗？

（三）理解概念

1．四边形：在平面内，由不在同一条直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

在定义中要强调“在同一平面内”这个条件，或为学生稍微说明一下.其次，要给学生讲清楚“首尾”和“顺次”的含义.

2．类比三角形的边、顶点、内角、外角的概念，找学生答出四边形的边、顶点、内角、外交的概念.

3．四边形的记法：对照图形向学生讲明四边形的记法与三角形不同，表示四边形必须按顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.

练习：课本124页1、2题.

4．四边形的分类：凸四边形、凹四边形（不必向学生讲它的概念），只要学生会辨认一个四边形是不是凸四边形就可以了.

5．四边形的对角线：

（四）四边形的内角和定理

定理：四边形的内角和等于 .

注意：在研究四边形时，常常通过作它的对角线，把关于四边形的问题化成关于三角形的问题来解决.

（五）应用、反思

例1 已知：如图，直线 ，垂足为B, 直线 , 垂足为C.

求证：（1） ；（2）

证明：（1） （四边形的内角和等于 ），

（2）

.

练习：

1.课本124页3题.

2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角之比是1：3：6，那么这三个角的度数分别是多少？

小结：

知识：四边形的有关概念及其内角和定理.

能力：向学生渗透类比和转化的思想方法.

作业： 课本130页 2、3、4题.

332组解。

设此四边形为ABCD，为叙述方便，设其中四边边长AB=a，BC=b，CD=c，DA=a。

不妨设，最大边边长为a。

那么，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：a<16。（证明参见附注）

于是，原题即为：求方程a+b+c+d=32的正整数解的个数，其中a最大且a<16。

（注意b和d可以交换(边长相同但是方向相反的四边形形状相同，如(a,b,c,d)=(15,1,9,2)和(15,2,9,1))，但是bcd不能轮换）。

这样的整数解为：332组。

过程如下：

对于已知的a,c,(a,b,c,d)有min(x,y)种解。

其中

x=int[(32-a-c-1+1)/2]

(a,c定了后，b,d的范围为1~32-a-c-1.

y=int{[a-(32-a-c-a)+1+1]/2},即y=int[(a+c)/2]+a-15.

(注意两点：b和d可以轮换；b、d<=a)

下面讨论对于给定的a，c的范围为：

1)a=15~11时，c的取值范围为1~a

2)a=10.c范围为10~2.(因为若c=a，那么b+d=21，必有一个大于a)

3)a=9.c范围为9~5.(因为若c<5，那么b+d>18，必有一个大于a)

4)a=8.c只有一解：c=8.(因为若c<8，那么b+d>16，必有一个大于a)

合计，共332组解。

1)a=8 1组解；

2)a=9 9组解；

3)a=10 25组解；

4)a=11 44组解；

5)a=12 57组解；

6)a=13 65组解；

7)a=14 67组解；

8)a=15 64组解；

附注：四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：a<16。

证明：

引理1：四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：|(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)|<1

我们知道，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：角B+D=180。

注意到 a*a+b*b-2ab*cosB=AC*AC=c*c+d*d-2cd*cosD=c*c+d*d+2cd*cosB

即 cosB=(a*a+b*b-c*c-d*d)/2(ab+cd)。

注意到0<B<180,

（即对于四条边,a,b,c,d，我们调整角B为上述角度，得到的四边形共圆）

于是，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为

cosB=(a*a+b*b-c*c-d*d)/2(ab+cd)有解，也就是

|(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)|<1 （*）

引理完成后，我们对这个（*）变形如下：

(*)<=> -1<(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)<1

<=> 0<(a^2+b^2+2ab-c^2-d^2+2cd)/2(ab+cd)<2

<=> 0<((a+b)^2-(c-d)^2)/2(ab+cd)<2

<=> 0<(a+b+c-d)*(a+b-c+d)/2(ab+cd)<2

注意到a+b+c+d=32，上式即：

<=> 0<(32-2d)*(32-2c)/2(ab+cd)<2

<=> 0<(16-d)*(16-c)/(ab+cd)<1 (**)

注意到a为最大边。如果c>=16,那么a>=c>=16=>a+b+c+d>32,矛盾。

因此c<16,同理d<16,b<16.

P.S.估计你是个高中生，所以对于引理的证明没有用高等代数。

实际上，用高等代数中的一点关于“连续性”的概念，引理非常简单：

对于一个变长给定的四边形，由于可以按对角“拉伸”使角度发生变化，而变化的过程是连续的，那么，我们可以角B+角D从最小的（A或者C成为180度，那么B+D一定小于180）到最大的（B或者D为180度，那么B+D一定大于180度）变化是连续的，一定有一个状态，是B+D=180.此时ABCD四点共圆。

存在性由连续性保证了，唯一性由变化的单调性保证。这一块仔细讲起来稍微麻烦点，但是大致是这个意思。

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