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关于an=Xa(n-1)+a(n-2)这样的递推关系，其实更一般地，对于an=Aa(n-1)+Ba(n-2),有一个机械地固定的解法的，就是找出两个数m，n使得m+n=A, mn= -B
这样 an=(m+n)a(n-1)-mna(n-2), 于是 an-ma(n-1)=n[a(n-1)-ma(n-2)]
记 bn=an-ma(n-1). 则 bn=nb(n-1), 由此就可以求出 bn来，再利用 an=ma(n-1)+bn就可以地推出an来了。
所以问题就是如何找到需要的m,n？
而这一点很简单，由维达定理，这就是要求出方程 x^2-Ax+B=0的两个根来。而这个地球人都会的吧！
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有什么具体的应用，我并不清楚。所谓有助于人们对流形的认识，实在算不上什么具体的应用。但Poincare猜想是十分基本的一个命题，的确是可以看出来的。
不学一点拓扑学的话，可能对Poincare猜想是什么都不大明白。
首先必须指出，上面引用的百度百科的条目，把Poincare猜想的内容叙述都写错了。“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”，这是错的（这是不懂数学的人抄三联周刊的一篇文章，改动时抄错），甚至前面一句也不对；我找到的比较严格的叙述是，任一单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的 n 维流形，如果具有n维球面S^n的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S^n。非3维的情形很早已经证明，其实主要是3维的情形。
Poincare讲的是三维流形的分类问题。
三维流形并没有现实直观的几何例子，比如上面说的三维球面（注意并不是三维的实心球体）至少要在四维空间中才能画出来。
为了直观地类比，可以考虑二维的情形。直观一点就是说，一张连通一片的、没有洞的皮，总能鼓成一个皮球，而且只能鼓成皮球一种形状。这张连通无洞的皮就是一个二维单连通闭流形（直观上的图形总是可定向的，我们忽略不可定向的情况）。无洞就是说不能像一个轮胎，也不能像一个有孔可以吹的气球。说它能鼓成皮球，就是说这张皮是方的也好，长的也好，都可以连续地形变为球面。二维的情形实际上是拓扑学中一个比较经典的定理，即闭曲面分类定理的一种分类。可以看出，这个定理说的是一件很基本的事情，就是满足最简单性质的一个曲面的形状只有一种，就是球面。
增加一维，三维的情形就是Poincare猜想。把二维的皮换成三维的“皮”，把二维的球面换成三维的球“面”，就是Poincare猜想。可以看出它也是很基本的，因为它说的是最简单的低维图形的分类问题。
Poincare猜想研究的是低维的图形（它可以在四维空间画出来）。现代物理学中经常遇到这样的空间，所以说Poincare猜想有助于物理学的认识的深入，应该是肯定的。
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我是珠升号的签约作者“幼旋”
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