如何理解 n 维空间和 n 维时空

网上有关“如何理解 n 维空间和 n 维时空”话题很是火热，小编也是针对如何理解 n 维空间和 n 维时空寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

一定有朋友好奇为何笔者会突然发这样一篇看似和技术完全不相干的文章出来。其实这块内容也是笔者在研究时空搜索的时候引申出来的内容。看了一些资料，加深了对 n 维空间和 n 维时空的理解，就总结了一下。如果是对这方面完全没有接触的朋友一开始看一定会觉得陌生，如果是数学专业或者专业就是这方向的朋友，文章如有错误，欢迎提出来一起讨论。

首先空间和时空是常常会被混淆的两个概念。其实他们两者不同。

爱因斯坦的广义相对论里面提到过四维空间，讲的是三维空间加一维时间。这个并不是数学里面的多维空间的概念。实际上，时间维是独立于空间维的。一维空间也可以有时间，二维空间也有时间。多维空间都有时间。但是广义相对论里面提到的四维空间实际上是三维空间加上一维时间组成的四维时空。

黎曼几何之后的高维几何发展了很多年，在超弦理论里宇宙的空间是九维空间加一维时间。而在 M 理论里，宇宙是十维空间加一维时间的十一维时空。

在二维的空间中，两条垂直相交的直线，可以构成 X 轴和 Y 轴。在三维的空间中，三条相互垂直相交的指向，构成了 X 轴，Y轴和 Z 轴。第三条直线穿过二维空间中交点(即原点)，并且垂直于二维空间。同理，在四维空间中，同样会有一条直线，穿过这三维空间的三条直线的交叉点(三维坐标轴的原点)，并垂直于前面三条直线。四维空间中垂直于三维空间的这条线，是无法在三维空间中表示出来的，也无法画出来。这条线位于坐标原点内部的四维空间中。

那么四维空间如何形象的和三维空间产生联系呢？毕竟三维空间是我们人类最最熟悉的空间结构。我们知道三维空间有 X 轴，Y轴，Z轴，那么它们三条轴线能把整个空间分为6个面，上下，左右，前后。那四维空间还能怎么划分空间呢？它比三维空间还多出了里外，两个方向。里面的上面，和外面的上面是不同的空间。虽然在三维空间中都是上面。

同理，我们将这些理论继续推广到高维空间中，那么一定存在一条线能垂直于 n-1条线，并且 n-1 条线也是相互垂直相交的。

以上就是通过空间划分的角度来描述多维空间。

在高维空间中，事物都是非常抽象的，可能无法用图形画出来，但是我们可以通过我们能理解的低维空间去理解高维，这就需要研究高维空间事物在低维空间的展现形态了。

在二维空间中，正三角形有三个顶点。并且假设边长都等于1。如果在空间中存在第四个点，能使得这个点到三个顶点的距离都等于1。那么这个点必定不存在在二维空间中，且一定存在于三维空间中(此处数学证明省略，太难了，感兴趣的同学可以证明一下)。如果在三维空间中把这四个点都连接起来，那么就可以构成一个三维的正四面体。

同理，如果有第五个点能和这个三维的正四面体距离都是1，那么这个点也一定存在于四维空间中，与三维的正四面体一起构成四维的超四面体。

超四面体已经超出了我们生活的维度了，所以我们无法在三维空间中画中它的形状。但是我们可以通过投影的方式来在三维空间中去观察它。

先来回顾一点三维的正四面体是怎么产生的。由于是等边三角形，所以等边三角形的垂心到三个顶点的距离一定是相等的。那么我们就把这个内心取出来，拉到三维空间中，直到距离其他三个顶点的距离为1。这样就生成了三维的正四面体。由垂心分割的内部三个钝角三角形跟随着垂心的，拉出去就会变成正四面体外面的3个面。

同理，在三维的正四面体的中，取出它的垂心。垂心与四个顶点的距离都相等。这个垂心就将正四面体在内部分割成了4个扁四面体。那么将垂心拉到四维空间中做第五个顶点的话，就会变成超四面体。内部分割的4个扁四面体也会进化成超四面体的四个外表面。

四维的超四面体是5个顶点，10条棱边，10个三角面，5个四面体构成的超体。用三维空间无法描述它。

正方体是我们常见的三维物体。那四维空间里面的立方体变成什么样子了呢？

上图就是四维空间里面的立方体，叫超立方体。

上图反映出四维方体每条边等长，也可以看出立方体如何互相连接的。构造一个超立方体的最简单的步骤就是把2个立方体的8个顶点都分别和另外一个超立方体的顶点连接起来。

上图揭示的是超立方体本质上是从结合2个立方体，连接对应顶点得来的。

上图按着每一顶点由最底一顶点出发沿着棱走的长度排列。如果我们是要将超正方体用作在 并行计算 中连接不同处理器 网络拓扑 基础，则这些图像会非常有用。在超正方体中任意两个顶点之间之间至多有4中不同的路程，并且这里有许多路径是等同的。超正方体还是一个 二分图 ，就像正方形和立方体一样。

下面的两个图是透视投影图

上图是正八胞体绕着一个从左前到右后，从上到下切过图形的平面进行 单旋转 时的 透视投影 。

上图是正八胞体绕着两个在四维空间中互相 正交 的平面进行 双旋转 时的透视投影。

另外四维空间与以上的空间，属于高维模型。高维模型，也分数学与物理两个概念。

在数学上，多维有很多模型。理论上，维数可以很高。模型很多。但是满足交换不变性质的很少，所以，有人认为四维空间是物理上限。但是，也有人认为会有更高维数物理。去思考，有益智力，因为只受到数学条件约束。

在物理上，多维有很多模型。理论上，维数不可以很高。为了解释，宇宙整体的有限无边的性质，必须引入多维，一般是四维时空（一对相对组成性质），也有一些其它有限可数的维数，可能在物理上成立的模型不多。去思考难度很大，因为要受到物理现象的约束。

蚂蚁眼中的世界近乎是二维的，在它的眼里只有长度和宽度，而没有高度。任何三维的物体对于它来说都是一个“面”，它就会去爬。再或者是二维空间里，生活在清明上河图里的人，他们眼中的世界就只有杂乱无章的点线面，画中的人是无法对整幅画中的世界有一个完整的认识的。但是生活在三维空间的我们却可以一眼看到整个画中的世界。同理，处于三维空间里面的我们，看三维空间的物体，也是无法一眼看完的。比如眼前的高楼大厦，要想看完它的四周加上楼顶和楼底，我们无法一眼看完，需要围绕一圈才行。但是这些在四维空间里面，四维空间里面的生物看高楼其实一眼就能看到它是什么样子的。

于是可以得到一个也许不太正确的结论，低维空间不过是高维空间的表皮，因为低维空间是由高维空间中某个维度坍塌导致退化成了“皮”。

回想一下之前讲到的二维的等边三角形，三维的正四面体，四维的超四面体，低维不就是高维的皮么？处于高维看低维，一览无遗。

再比如素描中所说的“透视”，通过一些成像原理，能看到物体被遮挡的部位。当然不是真实的看见。如果是真实的看见，那么这个“透视”就是穿越了维度。

再说说西游记里面的孙悟空画圈保护唐僧，在二维空间里面，这个圈完全可以保护好唐僧，但是到了三维空间中，只需要轻轻的跳出这个圈子，就能摆脱悟空的束缚。在三维空间中想保护一个人，就需要用一个封闭的空间来把他关起来。但是这个人如果是四维空间的人，那么他也能很轻易的跳出这个四维空间。这就是三维空间里面的人无法理解“穿墙术”，但是四维空间里面的人却可以很轻松的做到。

在我们生活的三维空间中，能不断的变化自己形态的生物不多。三维世界里面能像变形金刚那样变形的真的不多，尤其是能从内到外的变形。那么在高维空间的世界里，存在变形金刚这种事物么？

答案是同一维也许不多，但是跨空间维的有很多。

比如三维空间里面的一个立方体或者多面体，二维的事物是如何理解它们呢？

举一个双曲线的例子：

两个倒立的圆锥，顶对着顶放置。用一个平面去切割它们，三维物体在这个平面上留下的曲线，我们叫做圆锥曲线。当曲面切的方向不同也就可以形成不同的圆锥曲线，有圆形，有抛物线，有双曲线，有椭圆。

在二维的世界里，只能认识这几种不同的圆锥曲线。但是在三维的世界里，我们就能理解到这是两个圆锥。

上图也很明显的展示了高维空间里面的物体在平面上的切面不同，展示的形状也不同。

那我们扩展到四维空间，如果一个四维空间的物体，被三维空间不断的切面，在三维空间上留下的三维体，不就是会不断变化的么？

所以我们不能理解变形金刚是因为我们处于低维空间中，在高维物体被低维空间切割的时候，就会发生变形金刚的现象。

小时候经常会考虑这样一件时间，时光真的不能逆转么？破镜真的不能重圆么？想说明白这间事情，就必须先谈谈我们现在所在的四维时空。

在爱因斯坦的广义相对论中，谈到了四维时空，说的是三维空间加一维时间。人的一生就像是一条时间轴，从出生到老去。人在四维时空是是无法回到过去，回到小时候的。

那我们如何定义时空呢？

在文章开始，我们用坐标轴的方式，以空间划分的方式对高维空间进行了划分，并且推广到了 n 维空间中。

这里我们换一个角度，从概率论的方式，从低维时空开始，推广到 n 维时空。

先看看一维空间，两个点就可以组成一条线。当无限多条线铺满一层的时候，就变成了二维空间。这么多条线就占满了所有的可能性。所以一维只有长度，没有宽度和高度(深度)。

在二维空间中，是一个个的面。当无数多个面铺满一个空间的时候，就会变成三维空间。这么多个面也就占满了空间所有的可能性。二维空间中也有了长度和宽度，没有高度(深度)。

三维空间这个大家都熟悉，就不再赘述了。三维空间里面的东西都具有长度，宽度和高度。

在四维时空中，比三维空间多了一维时间。还是用之前概率论的方式来定义四维时空，那么多了一维时间就是从物体的产生到最终*灭的时候。对人来说就是一生。这一生的时间占满了人一生可以做的所有活动，代表了所有可能性。

这里存在一个平行宇宙的概念。在人一生这么长的时间中，会做出很多抉择，这些抉择会改变未来一生的发展。每个选择都有选择的可能性。如果有 n 个选择，就有 n 个结果。每个结果都往下发展就可能得到不同的人生。同一个时间轴就有可能同时对应的 n 种可能性。在游戏里面就相当于有 n 条主线，而每个游戏角色却只能选择其中的一条主线。

当然每个选择并不一定是二选一。也可以多选。多选导致的结果也会不同。比如选择了考研出国，找国外的女友，在国外买房。多个维度的选择累积会对未来产生影响。也有可能小时候努力学习，考入名校，长大就过着人生赢家的生活。

在量子理论中，超小粒子构成了整个世界。各种可能性作为波，减弱至确定的一点。我们不断的在人生中做出选择，也不算的减弱这些波，直到选择都做完了，也就确定了一点，这个点就是最终的结果。

游戏这么多条主线，也能构成一个面。这个面是一个二维的面，当然这个面很特殊，里面的线都是时间线。这就构成了五维时空。这些时间线占满了人一生的所有可能性。

再回到之前我们谈到的时光能否逆转的问题上来。

我们知道，如果把一个面进行扭曲，那么可以做到让本来相距很远的点，相距很近。

虫洞也就是这个道理。如果沿着面表面走，需要很长的光年，但是如果穿越虫洞，就可以立即到达对面。

上面这个现象可以总结成，低一维的事物可以通过扭曲，快速的连接本来距离很远的东西。

那么在六维时空中，我们扭曲五维时空，把当前人生和出生的时间扭曲到一起去，那么就能回到过去，时光就相当于逆转了！

所以时光逆转在六维时空中是可能实现的！

在六维时空中，把所有的这些可能性都看成一个点。那个这些点再去占满所有的可能性就能得到七维时空了。那七维时空是什么呢？它的意义是什么？

七维时空里的点就代表了宇宙的所有可能性，是一个无穷的点。

那宇宙所有的可能性指的是什么呢？

这就要从宇宙大爆炸开始了，宇宙大爆炸开始产生了万物。而宇宙也是有生命，到它的终结也会包含各种可能性。

那七维时空里面的点占满所有的可能性，就能得到八维时空。那八维时空里面的点的意义又是什么呢？

七维时空的点代表了宇宙的所有可能性。那在八维时空里面还有那么多的其他的点，它们又是什么意义呢？

这些点其实是可能是由于不同的宇宙大爆炸产生的不同的无限中可能。不同的初始状况，爆炸后产生不同的重力，不同的光速。

我们将八维时空继续扭曲，就能得到九维时空。

现在回过头来总结一下时空的定义。

从一维开始，从一个点开始，两点为线，是一维。线再变成面，变成二维，面再通过累计成为三维。

三维以后的四维时空是变成了一个时间点。两个点连成线，只不过这个线是时间线。这就成为了五维时空。五维时空再通过累积和扭曲变成六维。

七维时空又是一个点，这个点代表了一个宇宙的所有可能。两个这种无限的点连接，代表了不同可能的宇宙产生的不同的无限中的可能。这就成为了八维时空。八维时空再通过累积和扭曲变成九维时空。

那么十维时空里面又变成一个点了。这个点一定也就代表了所有可能的宇宙中的 所有可能的时间线的所有可能的无限点。

然而这个点似乎已经不存在了。

在超弦理论中，十维时空里振动的超弦正是我们创造出的组成我们的宇宙和其他宇宙的比原子还要更小的粒子。换句话说，十维时空里面包含了所有所有所有的可能性。

至此，全文就接近尾声了。

最后抛出两个问题吧。

欧几里得的高维空间能被“压缩”么？n 维空间能降成一维空间么?

爱因斯坦的广义相对论里面的高维时空的时间维能被“压缩”么？n 维时空能降成四维时空或者更低的时空么？

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Reference：

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哪位高手知道计算机图形学的应用前景？越详细越好。拜谢！

一、地下水向河渠的运动

（一）河渠间地下水的稳定运动

1.潜水的稳定运动

河渠间潜水的运动由于受大气降水入渗补给或蒸发消耗的影响，应该属于非稳定运动。但为了简化计算，当入渗在时间和空间分布上都较均匀时，可以把潜水运动看作稳定运动。

假设条件：

（1）含水层为均质各向同性，隔水底板水平；

（2）河渠间潜水有垂向均匀入渗补给或蒸发消耗，设其强度W为常数；

（3）河渠基本上平行展布，潜水流可视为一维、渐变流并趋于稳定。

基于上述假设条件，取垂直于河渠的单位宽度进行研究并按图4-24取坐标，根据式（4-62），可写出上述问题的数学模型为：

图4-24 河渠间潜水的运动

现代水文地质学

式中：h为从左端开始的断面x处的潜水流厚度，h1、h2分别为左、右两侧河渠边缘的潜水流厚度。

对式（4-84）积分，得通解：

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式中：C1，C2为积分常数，可根据边界条件来确定，即将式（4-85）和式（4-86）代入式（4-87）得：

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最后，将C1，C2值代入式（4-87），得：

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式（4-88）即为河渠间有入渗（为正）或蒸发（为负）时，潜水流的浸润曲线（或降落曲线）方程。当参数K、W已知时，只要测定两个断面的水位h1和h2就可预测两断面间任一断面上的水位h。

由（4-88）对x求导数得：

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由达西定律知，河渠间任意断面的潜水流单宽流量为：

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式中，qx为距离左河x处，任意断面上潜水流的单宽流量。将式（4-89）代入式（4-90）得：

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当已知两个断面上的水位值时，可用（4-91）式计算两断面间任一断面的流量。关于河渠间潜水运动特点的讨论。

（1）由式（4-88）可知，潜水浸润曲线形状，当W＞0时，为椭圆形曲线；当W＜0时，为双曲线；当W=0时，为抛物线。

有入渗时，河渠间的浸润曲线形状为一椭圆形的上半支，河渠间形成分水岭，因为分水岭上水位最高，因此可用求极值的方法求出分水岭的位置。即将式（4-88）对x求导数，并令=0，将x=a代入，即得分水岭位置的计算公式：

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在其他条件不变时，由上式可得分水岭位置a与两侧河渠水位h1和h2的关系：

当h1=h2，则a=，分水岭位于河渠中间；当h1＞h2，则a＜，分水岭靠近左河；当h1＜h2，则a＞，分水岭靠近右河。即分水岭总是靠近高水位河渠这一边。

（2）排水渠合理间距的设计

在排水渠设计中，有时需将分水岭最高水位（hmax）控制在一定的标高上，以避免在河渠间产生盐渍化或沼泽化。

令x=a，h=hmax，代入式（4-88）得：

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由于该式中的l和a都是待求量，因此需和式（4-92）一起用试算法求解排水渠合理间距l。

在两渠水位相等时，即h1=h2=hw，分水岭位置a=时，式（4-93）可简化为：

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由上式知，当水位条件一定时，在入渗强度愈大、渗透性愈弱的含水层中，排水渠的间距愈小，反之愈大。

（3）河渠间单宽流量的计算

河渠间单宽流量的大小取决于分水岭的位置。

当a＞0时，q1=-Wa（负号表示流向左河）；

q2=-W（l-a）（正号表示流向右河）。

当a=0时，分水岭位于左河的起始断面上，此时

q1=0，左河既不渗漏也得不到补给；

q2=Wl，全部入渗量流入右河。

当a＜0时，不存在分水岭，此时全部入渗量流入右河，而且水位高的左河要向水位低的右河渗漏。

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（4）无入渗时潜水流的方程式

当W=0时，式（4-88）和式（4-91）可简化为：

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这就是著名的Dupuit公式。降落曲线的形状是二次抛物线。通过河渠间所有断面的单宽流量相等。

因为前面公式都是在Dupuit假设下导出的，忽略了渗流的垂向分速度，因此，用式（4-94）计算的浸润曲线较实际浸润曲线偏低（图4-25）。潜水面坡度愈大，两曲线的差别也愈大。但恰尔内（И.А.Чарнюй）证实，虽然用了Dupuit假设，但按式（4-95）计算的流量仍然是准确的。

图4-25 计算出的潜水面与实际潜水面的比较

图4-26 双层岩层中的渗流

当含水层为非均质时，如双层结构的含水层，上层渗透系数比下层渗透系数小得多时（图4-26），可以将地下水流分成两部分，分界面以上为潜水，以下为承压水。由于通过整个含水层的单宽流量是通过上层和下层单宽流量之和，即

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当含水层的透水性沿水流方向急剧变化时（图4-27），根据水流连续性原理，通过两种透水性不同的岩层的流量是相等的。

即，对于渗透系数为K1的含水层，其单宽流量q为

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图4-27 岩层透水性急剧变化时的潜水流

图4-28 潜水底板倾斜时的承压水流

对于渗透系数为K2的含水层，其单宽流量q为：

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把式（4-97）和式（4-98）相加，得：

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式中：h1和h2是断面1和2上的潜水流厚度；K1和K2为相邻两岩层的渗透系数；l1

和l2是端面1和2到岩层分界面的距离。

绘制浸润曲线时，先按式（4-97）算出hs值，而后再用式（4-94）进行分段绘制。

2.承压含水层中地下水的稳定运动

在承压含水层中，如含水层的厚度M为常数，入渗补给为零，为一维流动，其他条件与有入渗补给的潜水含水层相同时，承压水的流动方程式可以比照无入渗补给的公式写出，只要用MH替代潜水流方程中的h2/2即可。因此，由式（4-94）和式（4-95），可以写出承压水流方程如下：

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对上述承压水流公式作如下讨论：

（1）当含水层的隔水底板倾斜且倾斜度不大时，可用垂直方向上的水流厚度 M=（n为过水断面垂直于流线方向的值；θ隔水底板的倾角）代替n（图4-28）。

同理，也可用两断面间的水平距离l代替斜面上的距离l′。这样，用式（4-100）和式（4-101）即可进行底板为缓倾斜的承压含水层中地下水流的计算。

（2）当承压含水层的厚度M不是常数，而是随坐标变化时，如图4-29，通常可取上下两个断面含水层厚度的平均值代替M，以便求得近似解：

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（3）对于相互平行的层状含水层（图4-13），可用等效渗透系数代替式（4-101）中的K：

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式中：M=为层状含水层的总厚度；

Kp——等效渗透系数；

H1，H2——相距为l的两个断面上的水头值。

（4）在地下水坡度较大的地区，当出现上游为承压水，下游为无压水（图4-30）时，可以用分段法计算。

图4-29 含水层厚度变化的承压水流

图4-30 承压-无压流

在含水层厚度不变情况下，承压水流地段的单宽流量为：

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式中：l0为承压水流地段的长度。

无压水流地段的单宽流量为：

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根据水流连续性原理，q1=q2=q，因此，

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将l0代入以上两个流量公式中的任何一个，即可求得承压-无压流的单宽流量公式：

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降落曲线也可分别按承压水流公式（4-100）和潜水流公式（4-94）计算并绘制。

（二）一侧有河渠渗漏时，河渠附近潜水的非稳定运动

1.河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水的非稳定运动

假设条件：

（1）含水层均质各向同性，侧向无限延伸，隔水底板水平，上部入渗量W=0，河渠引渗后为一维流；

（2）原始潜水面水平，水力坡度为零；

（3）河渠水位瞬时上升，上升幅度为Δh0，t=h0，t-h0，0，上升后保持不变。

此时，基本方程可由Boussinesq方程式（4-62）导出：

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当水位变幅Δh≤0.1 h（h为潜水流的厚度）时，上式括号内的h可近似地看作常量，用时段始末潜水流的平均厚度值hm来代替，经方程线性化后得：

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图4-31 河渠水位迅速上升时河渠附近潜水的非稳定运动

该方程称Boussinesq 方程的第一种线性化方法。

为求上述假设条件下，半无限含水层中河渠附近地下水非稳定流运动方程，可将计算坐标的选择如图4-31所示，初始时刻t=0时，由假设条件（2）知，区内各点水位为h0，0，设距离河渠x处断面在t时刻的地下水位变幅为：

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该断面处t=0时刻的水位变幅为：

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河渠水位瞬时上升为定值并发生侧渗后，x=0断面处有u（0，t）=h0，t-h0，0=Δh0，t；x=∞断面处有u（∞，t）=0，通过变量变换，令

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此时，由式（4-105），可得河渠水位迅速上升，而后保持不变，半无限含水层中河渠附近地下水非稳定流运动方程：

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式中：a=为压力传导系数。

将上式数学模型对变量t进行Laplace积分变换并进行整理后，可得上述数学模型的简化式：

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方程（4-110）是一个二阶线性常系数齐次微分方程，经过对其特征方程求解和Laplace 逆变换，可得J.G.Ferris 的解：

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或

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式中：

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erfc（λ）为误差函数的补函数（余误差函数）。

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设F（λ）=，称为河渠水位对地下水位的影响系数，其值随时间t和距离x而变化，列于表4-2中。式（4-113）可改写为：

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表4-2 F（λ）数值表

如含水层的压力传导系数a为已知，欲求任一距离x和任一时间t，因河渠水位突然变化Δh0，t所引起的地下水位变化值时，可先求λ=，而后由表4-2查得F（λ），再由式（4-115）确定由此引起的水位变幅u值。将u=hx，t-h0，0代入式（4-113），可得：

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以上是河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水非稳定运动的基本方程及其简化后的数学模型、模型解和应用。

关于河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水侧渗速度变化的情况，可由达西定律写出。侧渗速度为：

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最后得：

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由此式可知：同一时刻不同断面的渗透速度不同，在起始断面x=0处，v=此时，渗透速度最大，远离河渠断面渗透速度逐渐变小。同理，在同一断面x上，渗透速度则随时间的增大而逐渐变小，即当t→∞时，v→0。

知道了侧渗速度变化的情况，即可求得侧渗补给量的变化情况。当水位变化不大时，潜水流的厚度可以用它的平均厚度hm来表示，这样，通过任一断面的单宽流量为：

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由此式可知，同一断面的单宽流量不等。当x=0时，单宽流量最大，其值为：

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它就是河渠向一侧补给地下水的单宽流量；同一断面的单宽流量是随时间的增大而减小的；河渠回水后，在t时间，x=0处，总的单宽流量为：

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2.河渠水位变化时，河渠附近潜水的非稳定运动

当假设条件同河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水的非稳定运动，为便于计算，常将变化曲线概化为阶梯状曲线（图4-32），其相邻段之间的变化仍看作是瞬时回水。这样，就可把整个水位变化过程看作是各个瞬时回水的叠加。计算时，可按式（4-115），算出，t-t0，t-t1…，t-tn-1所对应的水位u值（t0=0）：

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上述各时段水位变幅叠加，即为河渠水位整个变化过程的变幅：

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将u=hx，t-h0，0代入上式，得：

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这样，在（x=0）起始断面上，河渠向一侧补给地下水的单宽流量为：

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在t时间内总的单宽侧渗量，也是河渠一侧补给地下水的总量，为：

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（三）两侧有河渠渗透时河渠间潜水的非稳定运动

1.河渠水位迅速上升（下降）为定值时河渠间潜水的非稳定运动

假设条件：

（1）含水层均质、各向同性，侧向无限延伸，隔水底板水平，上部入渗量W=0，河渠引渗后为一维流。

（2）潜水的初始状态为稳定流，水位可用式（4-94）表示为：

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（3）两侧河渠水位同时上升，发生瞬时回水，左河水位从h0，0上升到h0，t，右河水位从hl，0上升到hl，t，如图4-33。该情况下的地下水运动仍可使用Boussinesq方程式（4-62）描述，但其中的W=0：

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为使上述方程线性化，可在其两端乘以潜水流厚度h：

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图4-32 水位连续变化时近似处理为阶梯曲线

图4-33 河渠间潜水的非稳定运动

令u*=则将上式改写成：

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当潜水流的厚度变化不大时，可将其看作常数，用平均值hm代替。这样，上式又可进一步改写为齐次Fourier方程：

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式中：

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这是以u=表示的线性方程。因此，只有当求解问题的初始条件和边界条件对于u*也是线性的时候，问题本身才是以u*=表示的线性问题。这种线性化的方法称为Boussinesq方程的第二种线性化方法。

根据假设，以u*表示的定解条件为：

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为便于求解，取新函数：

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并将其代入式（4-124），结合定解条件，使定解问题成为：

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然后，用有限Fourier正弦变换求解，得：

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利用下列展开式：

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及

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设，代入（4-130）式，得：

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设

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则上式简化为：

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式中：———相对距离；

———相对时间；

F———河渠水位函数，当在0～1区间变化时，可查表4-3；

F′———根据求得。

表4-3 函数数值表

式（4-131）为河渠水位迅速上升，而后保持不变时，计算河渠间任一断面，任一时刻水位的公式，由于函数是一个小于1的数，因此，乘上小于1的数，仍为一个小于1的数。这表明河渠间的水位变幅总是小于河渠的水位变幅。

取式（4-131）对x的导数，代入q=-Kh得：

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式中：qx，0——x断面处回水前的单宽流量；

qx，t——x断面处回水后，t时刻的单宽流量；

G，其中，河渠流量函数值可查表4-4；

G′）。

表4-4 函数数值表

式（4-132）表明两侧有河渠渗透时，河渠水位迅速上升后就保持不变，此时任一时刻、任一断面的单宽流量为非稳定流，它随时间和坐标的变化而变化，由于同一时刻，不同断面上有不同的水位变幅和流速，所以不同断面的流量也不同。

将式（4-132）在0～t区间内积分，得：

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式中：，其值可查表4-5。

式（4-133）为从引渗开始，经历时间t后，任一断面的总单宽侧渗量，即单位长度上河渠补给地下水的总量。

2.河渠水位变化时河渠间潜水的非稳定运动

与前面所述相同，可将该情况下的变化曲线简化为阶梯状线段，见图4-34，并将左右两河渠的时段数概化为相同的数目。每一时段水位看作定水位，相邻时段间的水位变化仍看作为瞬时回水。这样，整个水位变化过程就等于是各个瞬时回水的叠加。应用叠加原理，可得到：

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上两式即为河渠水位变化时，河渠间任一时刻、任一断面上潜水位和单宽流量的计算公式。

表4-5 函数数值表

图4-34 水位连续变化近似处理为阶梯状线段

二、地下水向井的运动

根据水井所揭露的地下水类型，可将水井分为潜水井和承压水井。无论是潜水井或承压水井，根据其所揭露含水层的程度和进水条件，又可将水井分为完整井和不完整井。贯穿整个含水层并在整个含水层厚度上都安上过滤器，可全面进水的水井称为完整井，（图4-35a中的1，和b中的1）。反之，如果水井没有贯穿整个含水层，只有井底和含水层部分厚度上能进水时，称为不完整井，如图4-35a中的2、3、4和b中2、3。

图4-35 完整井和不完整井

由于篇幅所限，现只将地下水向井运动的主要问题列表说明（表4-6～表4-11），以方便读者应用。

表4-6 W（u）数值表（Ferris，Brown和Stallman等1962年）

续表

续表

表4-7 W（u，r/B）或W（u′，a′）数值表

表4-8 地下水向完整井的稳定运动

续表

续表

续表

表4-9 地下水向完整井的非稳定运动

续表

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表4-10 地下水向不完整井的运动

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续表

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表4-11 地下水向边界附近井的运动

续表

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星际穿越 ▏酷炫烧脑的五维空间是怎么来的

计算机图形学是随着计算机及其外围设备而产生和发展起来的，作为计算机科学与技术学科的一个独立分支已经历了近40年的发展历程。一方面,作为一个学科,计算机图形学在图形基础算法、图形软件与图形硬件三方面取得了长足的进步,成为当代几乎所有科学和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。另一方面,计算机图形学的硬件和软件本身已发展成为一个巨大的产业。

1.计算机图形学活跃理论及技术

(1)分形理论及应用

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)率先提出的。1967年他在美国《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。

海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。它无法用常规的、传统的几何方法描述。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是部局形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去十分相似。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔100米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为100米的直线线段。如果改为每10米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长10米。显然，后一次量出的长度将大于前一次量出的长度。如果我们不断缩小尺度，所量出的长度将会越来越大。这样一来，海岸线的长度不就成为无穷大了吗?

为什么会出现这样的结论呢？曼德布罗特提出了一个重要的概念：分数维，又称分维。一般来说，维数都是整数，直线线段是一维的图形，正方形是二维的图形。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种维数观并不能解决海岸线的长度问题。曼德布罗特是这样描述一个绳球的维数的：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维的概念，海岸线的长度就可以确定了。

1975年，曼德布罗特发现：具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(Fractal)，这个单词由拉丁语Frangere衍生而成，该词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。

曼德布罗特的研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(Fractal theory)或分形几何学(Fractal geometry)。

分形的特点和理论贡献

数学上的分形有以下几个特点：

(1)具有无限精细的结构；

(2)比例自相似性；

(3)一般它的分数维大于它的拓扑维数；

(4)可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。

(1)(2)两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息。第(3)项说明了分形的复杂性，第(4)项则说明了分形的生成机制。

我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何做一比较，可以得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系，其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范围主要是人造的物体；而分形由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体，分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它们看成一个整体。

我们可以从分形图案的特点去理解分形几何。分形图案有一系列有趣的特点，如自相似性、对某些变换的不变性、内部结构的无限性等。此外，分形图案往往和一定的几何变换相联系，在一些变化下，图案保持不变，从任意的初始状态出发，经过若干次的几何变换，图形将固定在这个特定的分形图案上，而不再发生变化。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。

分形理论发展了维数的概念。在发现分数维以前，人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中引入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。

分形是20世纪涌现出的新的科学思想和对世界认识的新视角。从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广。同时它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(Chaos)现象的重要工具。众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。

由于分形的研究，人们对于随机性和确定性的辩证关系有了进一步的理解。同样对于过程和状态的联系，对于宏观和微观的联系，对于层次之间的转化，对于无限性的丰富多采，也都产生了有益的影响。

分形理论还是非线性科学的前沿和重要分支，作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识局部来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态和秩序；三是分形从特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分形学的应用领域

除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力，它已经在许多领域中得到有效的应用，其应用范围之广、效益之明显远远超过了十几年前的任何预测。目前大量分形方法的应用案例层出不穷。这些案例涉及的领域包括：生命过程进化，生态系统，数字编码和解码，数论，动力系统，理论物理(如流体力学和湍流) 等方面，此外，还有人利用分形学做城市规则和地震预报。

分形技术在数据压缩中的应用是一个非常典型的例子。美国数学会会刊在1996年6月的刊物上发表了巴斯利的文章《利用分形进行图形压缩》，他把分形用于光盘制作的图形压缩中。一般来说，我们总是把一个图形作为像素的集合来加以存储和处理。一张最普通的也常常涉及几十万乃至上百万像素，从而占据大量的存储空间，传输速度也大大受到限制。巴斯利运用了分形中的一个重要思想：分形图案是与某种变换相联系的，我们可以把任何一个图形看作是某种变换反复迭代的产物。因此，存储一个图形，只需存储有关这些变换过程的信息，而无需存储图形的全部像素信息。只要找到这个变换过程，图形就可以准确地再现出来，而不必去存储大量的像素信息。使用这种方法，在实际的应用中，已经达到了压缩存储空间至原来1/8的效果。

近年来，由分形理论发展起来的分形艺术(Fractal Art，FA)，在表现形式和分形几何的理解等方面亦取得了突破性的进展。分形艺术是二维可视艺术，在许多方面类似于摄影。分形图像作品一般是通过计算机屏幕和打印机来展现的。分形艺术中的另一个重要部分便是分形音乐，分形音乐是由一个算法的多重迭代产生的。自相似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构一些带有自相似小段的合成音乐，主题在带有小调的三番五次的反复循环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化。我们常见的计算机屏幕保护程序，许多也是通过分形计算而得来的。

进入1990年代以来，人们开始越来越多地利用这一理论研究经济领域的一些问题，主要集中在对金融市场（如股票市场、外汇市场等）的研究。操纵者可以通过在若干时间点上的操纵使股价在微观尺度上发生所希望的变化；从时间的宏观尺度上来看，要使股价发生所希望的变化，就要求操纵者具有相当的经济实力。从分形的角度来看，股票价格具有分形特征。一方面，股价具有复杂的微观结构；另一方面，它具有对时间的标度不变性，即在不同的观测尺度下具有相似的结构，其结构是复杂和简单、不规则和有序的统一。对股价操纵者来说，要在单个时间点上影响股价并不难，即使是在大的时间尺度上影响股价也是有可能的，但是要想通过人为的操纵，在影响股价的同时，保持股价在时间的微观和宏观尺度上的一致性，在技术上就会显得非常困难。

(2) 曲面造型技术。它是计算机图形学和计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它肇源于飞机、船舶的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于六十年代奠定理论基础。经三十多年发展，现在它已经形成了以Bezier和B样条方法为代表的参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation) 、拟合(Fitting) 、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型在近几年来得到了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。

一.从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差。

曲面变形(Deformation or Shape Blending): 传统的非均匀有理B样条(NURBS)曲面模型，仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状，至多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法(Sweeping)，蒙皮法(Skinning)，旋转法和拉伸法，也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形（FFD）法，基于弹性变形或热弹性力学等物理模型(原理)的变形法，基于求解约束的变形法，基于几何约束的变形法等曲面变形技术和基于多面体对应关系或基于图象形态学中Minkowski和操作的曲面形状调配技术。最近，笔者及其学生刘利刚首创活动局部球面坐标插值的新思想，给出了空间点集内在变量的完整数学描述，从几何内在解的角度，设计了三维多面体和自由曲面形状调配的一整套快速有效的算法，画面流畅，交互实时，对三维曲面变形的技术难题实现了突破。

曲面重建(Reconstruction)：在精致的轿车车身设计或人脸-类雕塑曲面的动画制作中，常用油泥制模，再作三维型值点采样。在医学图象可视化中，也常用CT切片来得到人体脏器表面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为曲面重建。采样工具为：激光测距扫描器，医学成象仪，接触探测数字转换器，雷达或地震勘探仪器等。根据重建曲面的形式，它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建这两类。

曲面简化(Simplification)：与曲面重建一样，这一研究领域目前也是国际热点之一。其基本思想在于从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果（主要是三角网格）中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。对于多分辨率曲面模型而言，这一技术还有利于建立曲面的层次逼近模型，进行曲面的分层显示，分层传输和分层编辑。具体的曲面简化方法有：网格顶点剔除法，网格边界删除法，网格优化法，最大平面逼近多边形法以及参数化重新采样法。

曲面转换(Conversion)：同一张曲面可以表为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义。例如，NURBS这种参数有理多项式曲面虽然包括了参数多项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局限性。而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可避免的。这就提出了把一张NURBS曲面转化成近似的多项式曲面的问题。同样的要求更体现在NURBS曲面设计系统与多项式曲面设计系统之间的数据传递和无纸化生产的工艺过程中。再如，在两张参数曲面的求交运算中，如果把其中一张曲面的NURBS形式转化为隐式，就容易得到方程的数值解。近几年来，国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几方面：NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性；Bezier曲线曲面的隐式化及其反问题；CONSURF飞机设计系统的Ball曲线向高维的各种推广形式的比较及互化；有理Bezier曲线曲面的降阶逼近算法及误差估计；NURBS曲面在三角域上与矩形域上的互相快速转化等。

曲面位差(Offset)：也称为曲面等距性，它在计算机图形及加工中有广泛应用，因而成为这几年的热门课题之一。例如，数控机床的刀具路径设计就要研究曲线的等距性。但从数学表达式容易看出，一般而言，一条平面参数曲线的等距曲线不再是有理曲线，这就越出了通用的NURBS系统的使用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定。

二．从表示方法来看，以网格细分(Subdivision)为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大有后来居上的创新之势。而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用。

在1998年荣获奥斯卡大奖的**作品中，有一个短片赫然在列，这就是美国著名的Pixar动画**制片厂选送的作品"Geri's Game"。动画片描述了一个名叫Geri的老头，在公园里自己与自己下国际象棋，千方百计想取胜的诙谐故事。画面中人物和景色的造型细致生动，与故事情节浑然一体，使观众得到真正的美学享受。而这部动画片制作中的设计者，就是以上论文的作者，著名的计算机图形学家T.DeRose。DeRose在SIGGRAPH'98大会上报告的论文讲到了选用C-C细分曲面作为Geri老头特征造型模型的背景。他指出，NURBS尽管早已被国际标准组织ISO作为定义工业产品数据交换的STEP标准，在工业造型和动画制作中得到了广泛的应用，但仍然存在着局限性。单一的NURBS曲面，如其他参数曲面一样，限于表示在拓扑上等价于一张纸，一个圆柱面或一个圆环面的曲面，不能表示任意拓扑结构的曲面。为了表达特征动画中更复杂的形状，如人的头，人的手或人的服饰，我们面临着一场技术挑战。当然，我们可以用最普通的复杂光滑曲面的造型方法，例如对NURBS的修剪(Trimming)来对付。确实，目前已经存在一些商用系统，诸如Alias-Wavefront和SoftImage等可以做到这一点，但是它们至少会遭遇到以下的困难：第一，修剪是昂贵的，而且有数值误差；第二，要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的平滑也是困难的，因为模型是活动的。而细分曲面有潜力克服以上两个困难，它们无须修剪，没有缝，活动模型的平滑度被自动地保证。DeRose成功地应用了C-C的细分曲面造型法，同时发明了构造光滑的变半径的轮廓线及合成物的实际技术，提出了在服饰模型中碰撞检测的有效新算法，构造了关于细分曲面的光滑因子场方法。凭借这些数学和软件基础，他形象逼真地表现了Geri老头的头壳，手指和衣服，包括茄克衫，裤子，领带和鞋子。这些都是传统的NURBS连续曲面造型所不易做到的。那么，C-C细分曲面是怎样构造的呢？它与传统的Doo-Sabin细分曲面异曲同工，都是从一个称之为控制网格(网格多半可用激光从手工模型上输入)的多面体开始，递归地计算新网格上的每个顶点，这些顶点都是原网格上某几个顶点的加权平均。如果多面体的一个面有n条边，细分一次后，这个面就会变成n个四边形。随着细分的不断进行，控制网格就被逐渐磨光，其极限状态就是一张自由曲面。它是无缝的，因而是平滑的，即使模型是活动的。这种方法显著地压缩了设计和建立一个原始模型的时间。更重要的，允许原始模型局部地精制化。这就是它优于连续曲面造型方法之处. C-C细分是基于四边形的，而Loop曲面(1987年)，蝶形曲面(1990年)是基于三角形的。它们都一样受到当今图形工作者的重用。

(3)计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）。 这是一个最广泛，最活跃的应用领域。计算机辅助设计（Computer Aided Design，CAD）是利用计算机强有力的计算功能和高效率的图形处理能力，辅助知识劳动者进行工程和产品的设计与分析，以达到理想的目的或取得创新成果的一种技术。它是综合了计算机科学与工程设计方法的最新发展而形成的一门新兴学科。计算机辅助设计技术的发展是与计算机软件、硬件技术的发展和完善，与工程设计方法的革新紧密相关的。采用计算机辅助设计已是现代工程设计的迫切需要。CAD技术目前已广泛应用于国民经济的各个方面，其主要的应用领域有以下几个方面。

1．制造业中的应用

CAD技术已在制造业中广泛应用，其中以机床、汽车、飞机、船舶、航天器等制造业应用最为广泛、深入。众所周知，一个产品的设计过程要经过概念设计、详细设计、结构分析和优化、仿真模拟等几个主要阶段。

同时，现代设计技术将并行工程的概念引入到整个设计过程中，在设计阶段就对产品整个生命周期进行综合考虑。当前先进的CAD应用系统已经将设计、绘图、分析、仿真、加工等一系列功能集成于一个系统内。现在较常用的软件有UG II、I-DEAS、CATIA、PRO/E、Euclid等CAD应用系统，这些系统主要运行在图形工作站平台上。在PC平台上运行的CAD应用软件主要有Cimatron、Solidwork、MDT、SolidEdge等。由于各种因素，目前在二维CAD系统中Autodesk公司的AutoCAD占据了相当的市场。

2．工程设计中的应用

CAD技术在工程领域中的应用有以下几个方面：

（1）建筑设计，包括方案设计、三维造型、建筑渲染图设计、平面布景、建筑构造设计、小区规划、日照分析、室内装潢等各类CAD应用软件。

（2）结构设计，包括有限元分析、结构平面设计、框/排架结构计算和分析、高层结构分析、地基及基础设计、钢结构设计与加工等。

（3）设备设计，包括水、电、暖各种设备及管道设计。

（4）城市规划、城市交通设计，如城市道路、高架、轻轨、地铁等市政工程设计。

（5）市政管线设计，如自来水、污水排放、煤气、电力、暖气、通信（包括电话、有线电视、数据通信等）各类市政管道线路设计。

（6）交通工程设计，如公路、桥梁、铁路、航空、机场、港口、码头等。

（7）水利工程设计，如大坝、水渠、河海工程等。

（8）其他工程设计和管理，如房地产开发及物业管理、工程概预算、施工过程控制与管理、旅游景点设计与布置、智能大厦设计等。

3．电气和电子电路方面的应用

CAD技术最早曾用于电路原理图和布线图的设计工作。目前，CAD技术已扩展到印刷电路板的设计（布线及元器件布局），并在集成电路、大规模集成电路和超大规模集成电路的设计制造中大显身手，并由此大大推动了微电子技术和计算及技术的发展。

4．仿真模拟和动画制作

应用CAD技术可以真实地模拟机械零件的加工处理过程、飞机起降、船舶进出港口、物体受力破坏分析、飞行训练环境、作战方针系统、事故现场重现等现象。在文化娱乐界已大量利用计算机造型仿真出逼真的现实世界中没有的原始动物、外星人以及各种场景等，并将动画和实际背景以及演员的表演天衣无缝地合在一起，在**制作技术上大放异彩，拍制出一个个激动人心的巨片。

5．其他应用

CAD技术除了在上述领域中的应用外，在轻工、纺织、家电、服装、制鞋、医疗和医药乃至体育方面都会用到CAD技术

CAD标准化体系进一步完善；系统智能化成为又一个技术热点；集成化成为CAD技术发展的一大趋势；科学计算可视化、虚拟设计、虚拟制造技术是20世纪90年代CAD技术发展的新趋向。

经过了一阶段计算机图形学的学习，对于图形学中基本图形的生成算法有了一定的了解。深度研究图形学，需要高深的数学知识，且每一个细化的方向需要的知识也不一样。图形学是计算机科学与技术学科的活跃前沿学科，被广泛的应用到生物学、物理学、化学、天文学、地球物理学、材料科学等领域。我深深感到这门学科涉及的领域之广是惊人的，可以说博大精深。

传统物理学的空间概念，就是立体三维空间。爱因斯坦相对论认为，空间和时间可以相互转化，时间是空间的另一种方式，因而传统的三维空间加上一维时间，成了四维空间。根据系统论，任何系统都是有层次的。这个层次不仅是传统物理三维空间中的高度，或可用感官把握的不同的物理层面，而且狭义上指事物的不同深度的本质。它虽然只有通过人的抽象思维来把握，然而却是外界事物的客观存在。同时，这种不同层次的本质也可以随着时间的推移，而演变成事物发展的不同阶段，成为人们感官可以把握的新的物理三维空间。因此，四维空间还应加上层次一维，任何真正的系统都是五维空间。这五维空间的任何一维都可以和其他四维相互转化。作为事物本质的反映的人的意识空间或心理空间，本质上就属于这五度空间中的第五维空间——层次空间，而且是高层次的层次空间（意识本身又分成不同的层次，哲学思维的空间是最高层次的层次空间）。它同物质世界的相互转化，是五维空间相互转化的具体表现

五维空间即时间、空间、层次的统一。在五维空间宇宙观中，时间、空间、层次是对称的。对称空间观是五维空间观的本质，五维空间观是对称空间观的展开。所以对称空间观就是五维空间观。

从三度空间观到四度空间观到五维空间观，是物理学发展的自然历史过程。

五维空间观得到了最新物理学的支持。非线性思维方式的形成、物质的分立结构与量子现象，为五维空间的理论和方法提供了可能的空间基础。当代基础物理学理论的核心问题，是破除空间时间连续性的经典观念，而代之以断续性的量子思想。二十世纪物理学的一个重要标志性成果，就是把自然界物质最基本的组成物，归结为36种夸克，12种轻子，13种规范粒子。以上36种夸克，12种轻子，13种规范粒子已经成为当今时代所认识的61种新的“基本粒子”。所有“基本粒子”的运动，仍然遵循着二十世纪物理学革命后所建立的量子规律（基本粒子遵循的量子规律称为量子场论）。这一规律的特征是粒子在空间中的位置、运动状态不是确定的，而是呈不连续的量子态。量子跃迁证明了空间维度不可分割。近年来兴起的宇宙全息统一论认为：“每一空间量子也都是包含着整个物质世界的信息”，“任一相对的独立的部分都是整体的一个缩影。”如果宇宙是全息的，那么任何一个微观粒子也就应是五维的，五维空间的真实性没有例外。如果我们把主客体看成本来就是同属于不可分的统一的空间架构中，那么在量子世界中看来不可解决的一系列难题，如微观世界到底是粒子、波、场还是弦，物质是构成的还是生成的、连续的还是无限可分的，都可迎刃而解。世界本来就是你所看到的，主客体的相互关系不是认识世界的障碍，而就是世界的本来面貌；追究离开主体的客体的本来面目是不可能的，也是没有意义的；关键在于观察者视觉的稳定性、一致性，思考者逻辑的自洽性。

无论是相对论还是量子力学，其中主观与客观、主体与客体、意识与物质之间都有着千丝万缕、剪不断理还乱的关系。这本身就说明，用包含意识空间在内、把意识空间与物质空间统一起来的五维空间观来代替相对论的四度空间观有必然性。五维空间观是四度空间观发展的必然结果。量子理论是爱因斯坦相对论四度空间理论向五维空间理论转化的中间环节。

五维空间的方法是空间性、历时性和层次性相统一的方法。五维空间方法是逻辑与历史一致、还原论与整体论统一。

五维空间方法也得到了科学发展史的证明：在自然科学领域：地质矿石的空间排列，可以反映出地质从本质到现象演化的时间历史。各种自然力的空间排列，可以反映出自然力从本质到现象演化的时间历史。各种无机物、有机物的空间排列，可以反映出自然界无机物从本质到现象演化的时间历史，有机物从本质到现象演化的时间历史，从无机物向有机物从本质到现象演化的时间历史。生物科学的空间排列，可以反映出生物从本质到现象演化的时间历史。在社会科学领域，不同社会文明的空间排列，反映了社会文明从本质到现象发展的时间历史。在意识科学领域，不同学科、同一学科中不同学派的空间排列，反映了人类知识、各学科发展从本质到现象的时间历史。

五维空间不仅是方法，而且是模式，它更全面更系统地揭示了事物的本质和结构。从五维空间观看来，概念和概念体系是客体的本质和规律的反映；从主客体统一的系统来讲，概念和概念体系作为科学本质和科学规律，本身就是事物的本质和规律的一环。科学本质和客观本质的对称、科学规律和客观规律的对称，就是主客体相互关系——认识关系和实践关系的结构与模式。

五维空间观具有如下几个特征：

主体性：空间认识的主体和客体不可分。这种不可分不仅仅是认识论意义上的，而且是本体论意义上的。空间认识的主体和客体不可分是空间不可分割的组成部分。

整体性：空间发展的基本线索，从纵向来看，是空间的起源、空间的发展、空间发展的动力；从层次来看，分为宇观空间、宏观空间、微观空间三大层次；从性质来看，分为自然、社会、意识三大类，自然又分为非生命与生命两大类型。科学的空间理论，必须对空间发展的不同阶段、不同层面、不同类型作出统一的说明。空间包括自然、社会、意识空间。从整体来看，自然、社会、意识是宇宙空间的不可分割的组成部分；从具体来看，自然、社会、意识各自都有自己的空间。完整的空间理论既包含对宇宙整体空间的把握，又必须对自然、社会、意识这三大领域的空间作出科学的、有说服力的说明。在五维空间观看来，离开意识和社会空间，自然空间不能得到科学的说明。空间观不包含社会空间观，把社会空间看成不属于宇宙空间的另类空间，既是不完整的空间理论，又是不科学的社会理论。

全息性：五维空间的各个维是有机统一的，它们不但不可分割，而且可以相互转化。正像四度空间的各个维之间的相互关系一样。只不过五维空间观使这种转化更加自觉，在实践中也更具有操作性。五维空间的各维之间的关系是全息关系，它们之间的区别只有在思维的抽象中才能存在，在现实中它们是紧密不可分的。在思维的具体（包括形象思维具体和抽象思维具体）中它们又复归于一个有机联系的整体。

系统性：使不同的空间观、宇宙空间的不同层面的解释得以有序化、系统化，相互说明，相互协调，从而使宇宙空间的不同层面、不同部分得到完整的把握。

兼容性：五维空间观可以使迄今为止的所有空间理论得以综合，使它们在五维空间观体系中得以合理定位。分度空间的认识方法，是一种非线性思维的方法。以分形（Fractal）、孤子（Soliton）、混沌(Chaos)等为主要特征的非线性科学是继相对论、量子力学之后“又一次科学革命”；非线性科学是研究非线性现象共性问题的一门新兴的交叉学科，它的产生标志着人类认识由线性领域进入了非线性领域。非线性科学揭示出来的新事实、新特点和新规律，对人们的思维方式具有重大影响。分度空间理论（弦理论）也说明客观存在的（甚至作为物理意义的图形本身）点、线、面，无一不是五维空间（本质维+时间维+物体三维）。无论是宏观物体，还是微观物体；无论是波、粒还是弦，都是五维空间。只有五维空间理论，才能科学地解释分度空间理论（弦理论）。分度空间理论从逻辑上确证了五维空间的理论，分度空间理论（弦理论）也是传统四度空间理论向五维空间理论转化的中间环节。

基础性：宇宙空间和自然空间、社会空间、意识空间、虚拟空间的关系，社会空间和某一历史时期、某一区域空间的关系，是本质和现象、整体和部分、一般和特殊的关系。本质决定现象、整体制约部分、一般说明特殊。研究社会这一特定领域的空间、和谐社会这一特定的社会空间、和谐经济这一特定的和谐社会的空间，必须以一般的五维空间理论为基础

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